Форум » Великие учёные » Лопиталь » Ответить
Лопиталь
Ферзеход:
Ответов - 7
Ферзеход: Теорема (правило Лопиталя). Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в вблизи точки а, непрерывны в точке а, g`(x) отлична от нуля вблизи а и f(a) = g(a) = 0, то предел отношения функций при х - стрелка вправо - а равен пределу отношения их производных, если этот предел (конечный или бесконечный) существует.
Ферзеход: Лопиталь, Гийом Франсуа (фр. Guillaume-François, Marquis de l'Hopital, 1661-1704) - известный французский математик. Сын богатых родителей, маркиз Лопиталь поступил сперва в военную службу, но по слабости зрения вскоре оставил ее и посвятил себя наукам. Воспользовавшись приездом в Париж Ивана Бернулли, Лопиталь пригласил его в свое имение и в течение четырех месяцев изучил с ним высшую математику; остальное время своей кратковременной жизни Лопиталь провел в Париже, занимаясь исключительно математикой и состоя членом Академии наук. Ему принадлежит решение нескольких трудных задач, как, напр., о кривой наименьшего времени ската (см. Брахистотрона), о кривой, по которой должен двигаться груз, прикрепленный к цепи и удерживающий в равновесии подъемный мост, и др. Главная же заслуга Лопиталя заключается в обстоятельном изложении дифференциального исчисления; в его сочинении "Analyse des infiniment petits" (1696), не потерявшем значения и по настоящее время, собраны и приведены в стройное целое отдельные вопросы, разбросанные до того в разных повременных изданиях. Другое известное сочинение Лопиталя, "Traité analytique des sections coniques", напечатано в 1707 г.
Ферзеход: Точная формулировка Правило говорит, что если функции Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): f(x) и Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): g(x) обладают следующим набором условий: Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): \lim_{x\to a+}{f(x)}=\lim_{x\to a+}{g(x)}=0 или Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): \infty Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): \exists \lim_{x\to a+}{\frac{f'(x)}{g'(x)}} Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): g(x)\neq 0 в некоторой окрестности точки Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): a , тогда существует Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): \lim_{x\to a+}{\frac{f(x)}{g(x)}} = \lim_{x\to a+}{\frac{f'(x)}{g'(x)}} . При этом теорема верна и для других баз (для указанной будет приведено доказательство). История Способ раскрытия такого рода неопределённостей был опубликован маркизом Г. Ф. де Лопиталем (Guillaume François Antoine, marquis de L'Hôpital) в его сочинении «Анализ бесконечно малых» («Analyse des infiniment petits»), изданном в 1696 году. Однако после смерти де Лопиталя Иоганн Бернулли опубликовал работу «Усовершенствование моего опубликованнного в „Analyse des infiniment petits“ §163 метода для определения значения дроби, числитель и знаменатель которой иногда исчезают», 1704), в которой предъявил претензии на авторство, хотя и не обвинял покойного в явном плагиате. Доказательство 1. Докажем теорему для случая, когда пределы функций равны нулю (т. н. неопределённость вида Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): \left(\frac{0}{0}\right) ). Поскольку мы рассматриваем функции Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): f и Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): g только в правой проколотой полуокрестности точки Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): a , мы можем непрерывным образом их доопределить в этой точке: пусть Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): f(a)=g(a)=0 . Возьмём некоторый Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): x из рассматриваемой полуокрестности и применим к отрезку Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): [a,\;x] теорему Коши. По этой теореме получим: Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): \exists c \in [a,x]\!:\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)} , но Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): f(a)=g(a)=0 , поэтому Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): \forall x\, \exists c \in [a,\;x]\!:\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(c)}{g'(c)} . Дальше, записав определение предела отношения производных и обозначив последний через Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): A , из полученного равенства выводим: Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): \forall \varepsilon>0\, \exists \delta>0\, \forall x(x-a<\delta\Rightarrow \left|\frac{f(x)}{g(x)}-A\right|<\varepsilon) для конечного предела и Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): \forall M > 0\, \exists \delta>0\, \forall x(x-a<\delta\Rightarrow \left|\frac{f(x)}{g(x)}\right| > M) для бесконечного, что является определением предела отношения функций. 2. Докажем теорему для неопределённостей вида Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): \left(\frac{\infty}{\infty}\right) . Пусть, для начала, предел отношения производных конечен и равен Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): A . Тогда, при стремлении Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): x к Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): a справа, это отношение можно записать как Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): A+\alpha , где Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): \alpha — O(1). Запишем это условие: Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): \forall\varepsilon_{1}\, \exists \delta_{1}\, \forall x(x-a<\delta_{1}\Rightarrow \alpha(x)<\varepsilon_{1}) . Зафиксируем Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): t из отрезка Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): [a,\;a+\delta_1] и применим теорему Коши ко всем Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): x из отрезка Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): [a,\;t] Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): \forall x\in [a;t]\ \exists c\in [a;\;x]\!:\frac{f(x)-f(t)}{g(x)-g(t)}=\frac{f'(c)}{g'(c)} , что можно привести к следующему виду: Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{1-\frac{g(t)}{g(x)}}{1-\frac{f(t)}{f(x)}}\cdot\frac{f'(c)}{g'(c)} . Для Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): x , достаточно близких к Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): a , выражение имеет смысл; предел первого множителя правой части равен единице (так как Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): f(t) и Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): g(t) — константы, а Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): f(x) и Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): g(x) стремятся к бесконечности). Значит, этот множитель равен Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): 1+\beta , где Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): \beta — бесконечно малая функция при стремлении Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): x к Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): a справа. Выпишем определение этого факта, используя то же значение Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): \varepsilon , что и в определении для Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): \alpha Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): \forall \varepsilon_{1}\, \exists \delta_{2}\, \forall x(x-a<\delta_{2}\Rightarrow \beta(x)<\varepsilon_{1}) . Получили, что отношение функций представимо в виде Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): (1+\beta)(A+\alpha) , и Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): \left|\frac{f(x)}{g(x)}-A\right|<|A|\varepsilon_{1}+\varepsilon_{1}+\varepsilon_{1}^{2} . По любому данному Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): \varepsilon можно найти такое Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): \varepsilon_{1} , чтобы модуль разности отношения функций и Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): A был меньше Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): \varepsilon , значит, предел отношения функций действительно равен Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): A . Если же предел Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): A бесконечен (допустим, он равен плюс бесконечности), то Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): \forall M>0\, \exists \delta_{1}>0\, \forall x(x-a<\delta_{1}\Rightarrow\frac{f'(x)}{g'(x)}>2M) . В определении Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): \beta будем брать Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): \varepsilon_{1} < \frac{1}{2} первый множитель правой части будет больше 1/2 при Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): x , достаточно близких к Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): a , а тогда Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): \frac{f(x)}{g(x)}>\frac{1}{2}\cdot 2M=M\Rightarrow \lim_{x\to a+}{\frac{f(x)}{g(x)}}=+\infty . Для других баз доказательства аналогичны приведённым. Примеры Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): \lim_{x\to+\infty}{\frac{e^{x}}{x^{a}}}=\lim_{x\to+\infty}{\frac{e^{x}}{a\cdot x^{a-1}}}=\ldots=\lim_{x\to+\infty}{\frac{e^{x}}{a!}}=+\infty Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): \lim_{x\to+\infty}{\frac{x^{a}}{\ln{x}}}=\lim_{x\to+\infty}{\frac{ax^{a-1}}{\frac{1}{x}}}=a\cdot\lim_{x\to+\infty}{x^{a}}=+\infty при Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): a>0
Девушка в чёрном: Бедняга Лопиталь...
Ферзеход: А почему бедняга? Из-за наших с тобой выдумок?
Девушка в чёрном: Из-за них, родимых...
Илья: реферат нужен
полная версия страницы